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Las geometrías no-euclidianas según Poincaré.

SenequistaSenequista Gonzalo de Berceo s.XIII
[Os dejo aquí una copia (reducida y ligeramente retocada) de lo que escribió Henri Poincaré en su “Ciencia e Hipótesis” (1902). Es una explicación clara y rigurosa de la naturaleza de las geometrías modernas.]

LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS.

Toda conclusión supone premisas; esas premisas o son evidentes por sí mismas y no tienen necesidad de demostración, o bien no pueden ser establecidas más que apoyándose en otras proposiciones, y como no se podría remontar así hasta el infinito, toda ciencia deductiva, y la geometría en particular, debe descansar sobre un cierto número de axiomas indemostrables.
La mayoría de los tratados de geometría enuncian explícitamente tres:
1. Por dos puntos no se puede pasar más que una recta.
2. La línea recta es el camino más corto entre dos puntos.
3. Por un punto no se puede hacer pasar más que una paralela a una recta dada.

Durante mucho tiempo se ha intentado en vano demostrar el tercer axioma [deduciéndolo de los otros dos], conocido como el postulado de Euclides.
Por fin, al comienzo del siglo [XX], Lobatchevsky y Bolyai, establecieron de una manera irrefutable que dicha demostración es imposible.

LA GEOMETRÍA DE LOBATCHEVSKY.
Si fuera posible deducir el postulado de Euclides de los otros axiomas, sucedería evidentemente que negando el postulado y admitiendo los otros dos axiomas seríamos conducidos a consecuencias contradictorias; sería imposible basar en tales premisas una geometría coherente.
Lobatchevsky supone al principio que:
Por un punto se pueden trazar varias paralelas a una recta dada.
Y conserva por otra parte todos los demás axiomas de Euclides. De estas hipótesis deduce una serie de teoremas en los cuales es imposible encontrar contradicción alguna y construye una geometría cuya lógica impecable en nada cede a la euclidiana.
Las proposiciones de Lobatchevsky no tienen ninguna relación con las de Euclides, pero no están menos lógicamente ligadas unas con otras. [Como ejemplos,] así, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor que dos rectos [<180º], y la diferencia entre su suma y dos rectos es proporcional a la superficie del triángulo.

LA GEOMETRÍA DE RIEMANN.
Imaginemos un mundo poblado únicamente por seres carentes de espesor; y supongamos que estos animales “infinitamente chatos” estén todos en un mismo plano y no puedan salir de él. [Dotemos] de razonamiento a esos seres y creámosles capaces de construir una geometría; no atribuirán al espacio más que dos dimensiones.
[Supongamos ahora que] estos seres tengan la forma de una figura esférica y no de una figura plana y estén todos sobre una misma esfera, sin poder salirse de ella.
¿Qué geometría podrán construir? No atribuirán al espacio más que dos dimensiones; lo que desempeñará para ellos el papel de la línea recta será el camino más corto de un punto a otro de la superficie esférica, es decir, un arco de círculo máximo; su geometría será la geometría esférica.
[Su] espacio será esa superficie esférica de la que no pueden salir y sobre la cual ocurren todos los fenómenos que pueden conocer. Su espacio será sin límites, ya que sobre una esfera se puede ir siempre adelante sin detenerse nunca, y sin embargo será finito; no se encontrará jamás el extremo, pero se podrá dar la vuelta.
La geometría de Riemann es la geometría esférica extendida a tres dimensiones. Para construirla, ha debido arrojar por la borda, no sólo el postulado de Euclides, sino también el primer axioma: Por dos puntos no se puede hacer pasar más que una recta.
Sobre una esfera, por dos puntos dados no se puede, en general, hacer pasar más que un círculo máximo; pero hay una excepción: si los dos puntos dados son diametralmente opuestos, se podrá hacer pasar por estos dos puntos, infinitos círculos máximos.
En la geometría de Riemann (por lo menos en una de sus formas), por dos puntos no pasará en general más que una sola recta; pero hay casos excepcionales en los cuales por dos puntos podrán pasar infinitas rectas.
[Algunas conclusiones]: la suma de los ángulos de un triángulo es mayor que dos rectos [>180º]; el espacio de Riemann es finito aunque sin límites.

LAS GEOMETRÍAS DE HILBERT.
Veronese y Hilbert han imaginado nuevas geometrías más raras todavía, que llaman no-arquimedianas.
Las construyen desechando el axioma de Arquímedes, según el cual, toda longitud dada, multiplicada por un entero suficientemente grande, terminará por superar cualquier otra longitud dada, por grande que ella sea.
Sobre una recta no-arquimediana, existen todos los puntos de nuestra geometría ordinaria, pero hay infinitos otros que vienen a intercalarse entre ellos, de tal manera que entre dos segmentos, que los geómetras de la vieja escuela habrían considerado como contiguos, se pueden colocar infinitos puntos nuevos. El espacio no-arquimediano no es ya un continuo de segundo orden, sino un continuo de tercer orden.

[Sobre el continuo matemático de varias dimensiones y el origen de la Topología quizá escriba otro día.]

Comentarios

  • KundryKundry Garcilaso de la Vega XVI
    editado julio 2010
    Jolin qué tema! Aunque me motiva más reflexionar sobre la “sustancia”que podría conformar “La quintaesencia”…
    La quintaesencia , ahí es ná para un agnóstico o para la mismísima ciencia…

    La métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker nos lleva a senderos donde sirven fría la polémica del “creacionismo” …por si acaso estoy pensando en emigrar al planeta de los simios o estimular mi girus angular con una descarga eléctrica dolorosa , procurando, siempre, no tener que echar mano de los agonistas dopaminérgicos y agonistas gabaérgicos

    ¡ Coño , como me recuerda esto a los estados alterados de conciencia en Smart y a Paulino el indigoalfeón!

    Por cierto a los interesados dos librillos útiles :

    El universo de la conciencia ( Edelman y Tononi)
    Universos paralelos ( Michio Kaku)

  • BohrBohr Fernando de Rojas s.XV
    editado julio 2010
    ¡Guau! ¿Seguro que éste es un foro de literatura? Gracias, Senequetista, por haber traído este breve apunte sobre las geometrías no euclidianas. ¿Lo has escrito tú? Te lo pregunto porque juraría haber leído esa misma explicación sobre la geometría de Riemann. Bueno, da igual, qué bien me ha sentado leer algo de esto por aquí.:)
  • SenequistaSenequista Gonzalo de Berceo s.XIII
    editado julio 2010
    PARA BOHR:
    En el encabezado del texto, ya digo explícitamente que es una copia cuasi-literal de un famoso libro de Poincaré, considerado como uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos; que más quisiera yo que fuese original mío :rolleyes:… sólo lo que va entre corchetes [] es de mi cosecha. Si no tienes acceso a algún libro suyo (y si me demostraís tener verdadero interés), tal vez siga copiándole en asuntos de esta enjundia (espacio representativo, epistemología evolucionista, física newtoniana…).

    Saludos.
  • SenequistaSenequista Gonzalo de Berceo s.XIII
    editado julio 2010
    PARA KUNDRY:
    ¿¡Cómo que “Jolin qué tema!” !?:D
    Pues tú no te quedas manca ni ná; he tenido que buscar en la Wikipedia lo que para ti debe ser coser y cantar… ácido g-amino butírico (GABA), modelo FLRW (“peazo” ecuaciones), la psicología cognitiva de Edelman, ¿J.J.C.? Smart… Te veo muy puesta en tales “bagatelas”; incluso podrías, si no es mucho pedir, escribir algún post sobre éstas, sin mojarte con tecnicismos excesivos (tienes, al menos, un lector garantizado).

    Sobre Michio Kaku ni idea; pero por los títulos de sus libros, tengo la corazonada de que anda cerca de la órbita de esos expertos en ciencia físico-matemática, que gustan de especular, con quizá poco rigor y preparación, sobre materias más bien filosóficas que estrictamente científicas. Algunos parecen versiones actualizadas de teólogos escolásticos, con unos vuelos metafísicos de aupa; creo que a veces se olvidan de la Navaja de Occam, de los límites de la razón, del Tenedor de Hume...

    En cuanto a lo que hablas del “creacionismo” dentro de la cosmología actual, he encontrado este texto (muy técnico y difícil, si entiendo la mitad será mucho :) ), de un filósofo, Jara, seguidor del materialismo filosófico de Gustavo Bueno (COPIADO del “Catoblepas”).

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    3.5. La expansión continua del Universo es una especulación metafísica que presupone la posibilidad y existencia de la Nada

    La hipótesis de Friedmann en adelante aceptada y ampliada por multitud de cosmólogos de un Universo «abierto» en expansión continua, curvado, por la deformación que producen las masas gravitatorias, lleva a los límites del Big bang y de la fuga gravitatoria. Ahora bien –y esto es crucial– dichos límites suponen la posibilidad y existencia de la Nada (como hace explícitamente el señor Gil en su libro Dios y las cosmologías modernas gracias a su teísmo creacionista). La Nada como termino a quo en el Big bang, y la Nada como termino ad quem en la fuga gravitatoria; así pues, el Universo infinito en expansión continua está, paradójicamente, flanqueado «tanto por arriba como por abajo» por la Nada Cósmica. En el regressus en los modelos del Big bang, la materia cósmica en inflación, según el famoso modelo de Guth, se la hace desaparecer, «comprimida» hasta el límite en un punto de singularidad primordial donde el propio espacio-tiempo de Minkowski, al curvarse infinitamente, se aniquila. Así pues, la materia cósmica desaparece, y el punto de singularidad primordial, como límite del regressus desde las ecuaciones y métricas, es un «punto» que no puede existir como tal punto, ¿pues dónde «se proyecta» ese punto si se ha hecho desaparecer el espacio? Al aniquilarse en el regressus el propio espacio-tiempo de Minkowski por metábasis, también desaparece la posibilidad de ningún «punto» o entidad con propiedades geométricas. ¿Qué queda? Cuando no se trata de llenar este vacío absoluto con especulaciones sobre un vacío cuántico o la espuma cuántica, la respuesta es sencilla: el límite del regressus de la cosmología del Big bang conduce a la Nada. Este modelo cosmológico lleva a la metafísica conclusión, más allá de toda inmanencia categorial científica, de que la materia cósmica en inflación, junto con el espacio-tiempo dependiente de la codeterminación de las masas gravitatorias, brota ex nihilo. Dice Hawking, parafraseando a San Agustín, que carece de sentido preguntar por qué había antes del Big bang, porque con él comienza la existencia del tiempo. ¿Pero de dónde han salido los quarks y los leptones? ¿Cómo se han formado? Los (meta)físicos que defienden esta teoría creen que pueden «zanjar» la cuestión mediante la tesis de que la materia cósmica ha surgido «espontáneamente» del punto de singularidad primordial, y que preguntar sobre qué había antes es absurdo, porque antes no había tiempo. Pero tanto la emergencia «ex nihilo» de la materia como el comienzo absoluto del devenir son tesis disparatadas sin ninguna lógica, y quien las suele aceptar es porque está imbuido, aunque sea de modo inconsciente, de esquemas teológicos heredados de la tradición.

    En lo que respecta al término ad quem del Universo, en este modelo nos volvemos a encontrar con la Nada: las masas gravitatorias, en su expansión ilimitada e infinita tienen como límite, dado como posible, la distancia infinita entre cada masa gravitatoria, aun postulándose, ad hominem, en número infinito. Y esta posición lleva, como se sabe, a la anulación íntegra de su atracción gravitatoria, lo que conlleva a la total desaparición del universo de la gravedad, y con él, el propio espacio-tiempo de Minkowski ligado a dichas masas físicas que lo «constituían» con su atracción gravitacional.

    En la hipótesis de la fuga gravitatoria, pues, el Universo se transforma, en la metábasis del progressus temporal, en un «Universo de Minkowski», por tanto vacío de materia. Pero el Universo de Minkowski de curvatura nula y vacío de materia, sólo tiene sentido matemático, no físico (por mucho que algunos traten de «llenar» a ese Universo con especulaciones sin ninguna base sobre un «vacío cuántico» o «vacío de Plank»). Luego la fuga gravitatoria lleva a la visión de la aniquilación de la materia cósmica en la expansión infinita e ilimitada del Universo (aniquilación que, es cierto, requeriría un tiempo infinito, al contrario del regressus efectuado por la cosmogonía del Big bang o del Big crunch).

    La teoría del Big bang, cuando se interpreta ontológicamente, es decir, cuando se la interpreta como «lo que realmente ocurrió para la formación de nuestro Universo», no puede ser más disparatada; en el horizonte de la Nada, aparece ex nihilo una entidad terciogenérica exenta de M2 y M1: el punto de singularidad primordial. De este «punto» (que no está proyectado en ningún espacio pues el espacio-tiempo de Minkowski aún no ha sido creado), brota ex nihilo la materia cósmica en inflación M1, junto con el continuo tetradimensional espacio-temporal, aunque a la vez habría que presuponer que en el «punto de ignición originario» estaría «de algún modo» comprendido todo lo resultante posterior a la expansión; es decir, que habría que concebir al punto matemático de singularidad primordial como una totalidad contradictoria, en la que sus múltiples partes se hallan comprimidas y deformadas hasta el límite; un límite de tal naturaleza en que se pueda afirmar, como hacen los cosmólogos afines al Big bang, que la «Gran Explosión» se produjo «simultáneamente» en todas sus partes, «llenando» todo el espacio (recién creado especialmente por la «explosión», pues recordemos que «antes» el espacio-tiempo no existía). Esta materia cósmica primogenérica salida de la «chistera» de la singularidad primordial (visión en la que muchos verán a Dios Padre como el prestidigitador cósmico haciendo gala de su omnipotencia), después de miles de millones de años, hará emerger creadoramente la conciencia psicológica, y esta, finalmente, a las ideas, esencias, conceptos, relaciones geométricas, &c., es decir, a M3.

    Ontológicamente, pues, el modelo del Big bang representa una Scala naturae completamente metafísica movida por emergencias metafísicas, por saltos ex nihilo de «crecientes y emergentes niveles de complejidad ontológica»; de la singularidad primordial brota ex nihilo la materia cósmica en inflación, compuesta al principio únicamente por energía; esta energía constituirá bosones y fermiones, divididos, a su vez, en quarks y leptones; los quarks, agrupados en hadrones, formarán los nucleones (protones y neutrones), los leptones «realizarán el papel» de electrones, aparecerán los primeros núcleos atómicos; de éstos, por agregación, aparecerán luego las moléculas, primero de química inorgánica, luego de química orgánica; de esta última las moléculas acabarán formando mitocondrias, citoplasma… es decir, células, éstas, por composición, formarán órganos, éstos seres vivientes orgánicos; las células del sistema nervioso, con sus reacciones electro-químicas de bombas sodio/potasio, &c., acabarán haciendo emerger contenidos psicológicos y anímicos: M2. De la interacción de M2 con M1, «brotará», ex nihilo, M3 (aunque M3 se presupusiese ya desde la singularidad primordial, de carácter matemático asintótico). A su vez, todas estas emergencias estarán movidas por el «principio antrópico fuerte», nueva versión del argumento del diseño, fruto de ignorar completamente el dialelo corpóreo-viviente, como hemos señalado en otras ocasiones.
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    Por último, sobre lo que tú llamas “la quintaesencia” supongo que te refieres a la ontología: substancia primera (ousia prote) de Aristóteles; “res extensa” de Descartes; “principio de la permanencia de la sustancia” de Kant (primera analogía de la experiencia)… ¿o te refieres más bien al concepto de materia empírica, percibible mediante los sentidos externos?

    Saludos.
  • BohrBohr Fernando de Rojas s.XV
    editado julio 2010
    Senequista escribió : »
    PARA BOHR:
    En el encabezado del texto, ya digo explícitamente que es una copia cuasi-literal de un famoso libro de Poincaré, considerado como uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos; que más quisiera yo que fuese original mío :rolleyes:… sólo lo que va entre corchetes [] es de mi cosecha. Si no tienes acceso a algún libro suyo (y si me demostraís tener verdadero interés), tal vez siga copiándole en asuntos de esta enjundia (espacio representativo, epistemología evolucionista, física newtoniana…).

    Saludos.

    Perdona, Senequista, tienes toda la razón del mundo, es que Bohr está cegato perdío. A mí sí que me interesan estos temas y creo que por casa no conservo ningún texto de Poincaré, así que por mí puedes colgar lo que quieras porque lo leeré. :)
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